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Número Aureo 1,618033988749894848204


La sección áurea, en matemáticas, es una proporción de la geometría que se obtiene al dividir un segmento en dos partes de manera que el cociente entre la longitud del segmento mayor y la longitud del segmento inicial es igual al cociente entre la longitud del segmento menor y la del segmento mayor.

El punto C crea una sección áurea en el segmento rectilíneo AB si AC/AB = CB/AC. Esta proporción tiene el valor numérico 0,618…, que se puede calcular de la siguiente manera: si AB = 1 y la longitud de AC = x, entonces AC/AB = CB/AC se convierte en x/1 = (1 – x)/x. Multiplicando ambos lados de esta ecuación por x, se tiene que x2 = 1 – x; y por tanto x2 + x – 1 = 0. Esta ecuación de segundo grado se puede resolver utilizando la fórmula cuadrática, que da x = (-1 + Ä)/2 = 0,6180339…

numero ecuacionCiertos historiadores afirman que las propiedades de las secciones áureas ayudaron a los discípulos del matemático y filósofo griego Pitágoras a descubrir las rectas inconmensurables, que son el equivalente geométrico de los números irracionales. Sin embargo, lo que sí es cierto es que desde la antigüedad, muchos filósofos, artistas y matemáticos se han interesado por la sección áurea, que los escritores del renacimiento llamaron proporción divina.

Leonardo Da Vinci hizo las ilustraciones para una disertación publicada por Luca Pacioli en 1509 titulada De Divina Proportione , quizás la referencia más temprana en la literatura a otro de sus nombres, el de “Divina Proporción”. Este libro contiene los dibujos hechos por Leonardo da Vinci de los cinco sólidos platónicos. Es probable que fuera Leonardo quien diera por primera vez el nombre de sectio áurea . En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.

Espiral construida utilizando rectángulos con la proporción áurea. Resulta una aproximación a la espiral logarítmica.

Durante varios siglos, las interrogantes sin respuesta acerca de la obra de Leonardo han ido creciendo, creando pasiones en muchos autores e investigadores. Pese a la gran cantidad de preguntas, las respuestas a las mismas no suelen ser del todo convincentes, dejando abierto el debate. Especialmente durante los s. XIX y XX, las teorías acerca del origen de la modelo, la expresión de su rostro, la inspiración del autor y otras tantas, han tomado gran protagonismo y obligan a un análisis histórico y científico .

El Partenón, mostrando los rectángulos áureos usados posiblemente en su construcción.

El número áureo o la proporción áurea se estudió desde la antigüedad, ya que aparece regularmente en geometría. Se conoce ya de su existencia en los pentágonos regulares y pentáculos de las tabletas sumerias de alrededor del 3200 a. C.

En la antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos, tanto en su planta como en sus fachadas. Por aquel entonces no recibía ningún nombre especial, ya que era algo tan familiar entre los antiguos griegos que “la división de un segmento en media extrema y razón” era conocido generalmente como “la sección”. En el Partenón, Fidias también lo aplicó en la composición de las esculturas. (la denominación Fi, por ser la primera letra de su nombre, la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en su honor).El Partenón, mostrando los rectángulos áureos usados posiblemente en su construcción.Platón (circa 428-347 a. C.), consideró la sección áurea como la mejor de todas las relaciones matemáticas y la llave a la física del cosmos.

La sección áurea se usó mucho en el Renacimiento, particularmente en las artes plásticas y la arquitectura. Se consideraba la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo.


La primera vez que me llamó la atención este tema fué al leer el Codigo Da Vinci de Dan Brown, en el los personajes Sophie Neveu y Robert Langdon hablan sobre la Sección Aurea a raíz de la secuencia de números que les dejó el abuelo de ella como pista. Es un asunto sobre el que Robert ha dado clase a sus estudiantes de Harvard, donde trabaja.
Conocida con la letra griega phi (0), la Sección Áurea es un número irracional (es decir, aquel que no puede ser expresado como razón o fracción de dos números enteros) con varias propiedades curiosas. Se puede definir como el número que es igual a su recíproco más uno: c l ) = + 1, con un valor expresado por lo común como 1,618033989.
Sus dígitos, que fueron calculados hasta diez millones de decimales en 1996, nunca se repiten. Se relaciona con los números de Fibonacci (véase entrada) en que si se divide entre sí dos números consecutivos de la secuencia de Fibonacci, el resultado es siempre una aproximación a phi.

También conocido como la Divina Proporción, la Media Aurea o la Proporción Áurea, este ratio se encuentra con sorprendente frecuencia en las estructuras naturales así como
en el arte y la arquitectura hechos por el hombre, en los que se considera agradable la proporción entre longitud y anchura de aproximadamente 1,618. Sus extrañas propiedades son la causa de que la Sección Áurea haya sido considerada históricamente como divina en sus composiciones e infinita en sus significados.
Sin duda alguna, es cierto que la armonía se puede expresar mediante cifras, tanto en espacios pictóricos o arquitectónicos, como en el reino de la música o, cómo no, en la naturaleza.

La armonía de la Sección Áurea o Divina Proporción se revela de forma natural en muchos lugares. En el cuerpo humano, los ventrículos del corazón recuperan su posición de partida en el punto del ciclo rítmico cardiaco equivalente a la Sección Áurea. El rostro humano incorpora este ratio a sus proporciones. Si se divide el grado de inclinación de una espiral de ADN o de la concha de un molusco por sus respectivos diámetros, se obtiene la Sección Áurea. Y si se mira la forma en que crecen las hojas en la rama de una planta, se puede ver que cada una crece en un ángulo diferente respecto a la de debajo. El ángulo más común entre hojas sucesivas está directamente relacionado con la Sección Aurea.

En arte y arquitectura, también se han usado con extraordinarios resultados las famosas propiedades armoniosas de la Sección Áurea. Las dimensiones de la Cámara Real de la Gran Pirámide se basan en la Sección Áurea; el arquitecto Le Corbusier diseñó su sistema « Modulor» basándose en la utilización de la proporción; el pintor Mondrian basó la mayoría de sus obras en la Sección Áurea; Leonardo la incluyó en muchas de sus pinturas y Claude Debussy se sirvió de sus propiedades en su música.

La Sección Áurea también surge en algunos lugares inverosímiles: los televisores de pantalla ancha, las postales, las tarjetas de crédito y las fotografías se ajustan por lo común a sus proporciones. Y se han llevado a cabo muchos experimentos para probar que las proporciones de los rostros de las top models se adecuan más estrechamente a la Sección Áurea que las del resto de la población, lo cual supuestamente explica por qué las encontramos bellas. Luca Pacioli, un amigo de Leonardo da Vinci al que conoció mientras trabajaba en la corte de Ludovico Sforza, duque de Milán, escribió un tratado crucial sobre la Sección Áurea, titulado De divina proportione. En este libro, Pacioli intenta explicar el significado de la Divina Proporción de una forma lógica y científica, aunque lo que él creía era que su esquiva cualidad reflejaba el misterio de Dios. Esta y otras
obras de Pacioli parece que influyeron profundamente a Leonardo, y ambos se convirtieron en amigos inquebrantables, trabajando incluso juntos sobre problemas matemáticos. El uso de la Sección Áurea es evidente en las obras principales de Leonardo, quien mostró durante mucho tiempo un gran interés por las matemáticas del arte y de la naturaleza. Como el brillante Pitágoras antes que él, Leonardo hizo un estudio en profundidad de la figura humana, demostrando que todas las partes fundamentales guardaban relación con la Sección Áurea.

Se ha dicho que la gran pintura inacabada de Leonardo, San Jerónimo, que muestra al santo con un león a sus pies, fue pintada en un intencionado estilo para asegurarse de que un rectángulo dorado (véase entrada) encajara perfectamente alrededor de la figura central. Dada la afición de Leonardo por la «geometría recreativa», esto parece una suposición razonable. También el rostro de la Mona Lisa encierra un rectángulo dorado perfecto. Después de Leonardo, artistas como Rafael y Miguel Angel hicieron un gran uso de la Sección Áurea para construir sus obras. La impresionante escultura de Miguel Ángel David se ajusta en varios sentidos a la Sección Áurea, desde la situación del ombligo con respecto a la altura, hasta la colocación de las articulaciones de los dedos.

Los constructores de las iglesias medievales y góticas y de las catedrales europeas también erigieron estas asombrosas estructuras para adaptarse a la Sección Áurea. En este sentido, Dios realmente estaba en los números. ligase también: Secuencia de Fibonacci; Rectángulo Dorado.

Secuencia de Fibonacci

Tambien en el Código Da Vinci en el suelo del lugar donde se encuentra el cuerpo de Jacques Sauniere al comienzo del libro hay escritos algunos números. Sophie, su nieta, reconoce la secuencia numérica y la interpreta como una señal de su abuelo, aunque lleva su tiempo que emerja su completa significación. Una vez que ella tiene la llave de la caja de depósitos del banco y comprende que necesita un número de cuenta para tener acceso a ella, las cifras se ordenan ascendentemente para darle la solución.
La secuencia de Fibonacci es una secuencia infinita de números, que comienza por: 1. 1, 2, 3, 5, cada uno de ellos es la suma de los dos que le preceden.

Así:
1+1=2,1+2=3,2+3=5,3+5=8,5+8= 13, y así sucesivamente.

Para cualquier valor mayor que 3 contenido en la secuencia, la proporción entre cualesquiera dos números consecutivos es 1: 1,618, o Sección Áurea. Por lo tanto tambien está relacionado con todo lo que venimos comentando anteriormente.

La secuencia de Fibonacci se puede encontrar en la naturaleza, en la que la flor del girasol, por ejemplo, tiene veintiuna espirales que van en una dirección y treinta y cuatro que van en la otra; ambos son números consecutivos de Fibonacci. La parte externa de una piña piñonera tiene espirales que van en sentido de las manecillas del reloj y otras que lo hacen en sentido contrario, y la proporción entre el número de unas y otras espirales tiene valores secuenciales de Fibonacci. En las elegantes curvas de una concha de nautilus, cada nueva circunvolución completa cumplirá una proporción de 1: 1,618, si se compara con la distancia desde el centro de la espiral precedente.

Leonardo Fibonacci nació en Pisa, Italia, en 1170. Creció y fue educado en Bugia, norte de Africa (hoy llamada Bejaia, en Argelia), desde donde regresó a Pisa alrededor del año 1200. Fibonacci fue sin duda influido y posiblemente enseñado por matemáticos árabes durante este su periodo más formativo. Escribió muchos textos matemáticos e hizo algunos descubrimientos matemáticos significativos, lo que ayudó a que sus trabajos fueran muy populares en Italia y a que le prestara atención el Sacro Emperador Romano del momento, Federico II, quien lo invitó a su corte de Pisa. Fibonacci murió en 1250.

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